Lecture 2: Random Variables and Probability Distributions

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.14%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.3%22%2C%20%22numpy%3D%3D2.4.3%22%2C%20%22pandas%3D%3D3.0.2%22%2C%20%22altair%3D%3D6.0.0%22%2C%20%22scipy%3D%3D1.17.1%22%5D%0A%23%20%0A%23%20%5Btool.marimo.export%5D%0A%23%20lock_kind%20%3D%20%22resolved%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.1%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(%0A%20%20%20%20app_title%3D%22Lecture%202%3A%20Random%20Variables%20and%20Probability%20Distributions%22%2C%0A%20%20%20%20css_file%3D%22marimo-overrides.css%22%2C%0A)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20pandas%20as%20pd%0A%20%20%20%20import%20altair%20as%20alt%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20stats%0A%0A%20%20%20%20return%20alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20stats%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.sidebar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2F%22%20target%3D%22_self%22%20style%3D%22display%3A%20flex%3B%20align-items%3A%20center%3B%20gap%3A%200.5em%3B%20margin%3A%200%3B%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2FLMU_SquareOrig.png%22%20alt%3D%22%22%20style%3D%22height%3A%201.6em%3B%20width%3A%20auto%3B%20display%3A%20block%3B%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cspan%3EECON%203300%20Course%20home%3C%2Fspan%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3C%2Fa%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdiv%20style%3D%22font-weight%3A%20700%3B%20font-size%3A%201.05em%3B%22%3ECourse%20Outline%3C%2Fdiv%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fapps%2FLec1Introduction.html%22%20target%3D%22_self%22%3EIntroduction%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.%20**%5BRandom%20Variables%5D(%23top)**%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%5BProbability%20and%20statistics%5D(%23sec1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%5BRandom%20variables%5D(%23sec2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%5BDescribing%20a%20random%20variable%5D(%23sec3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%5BLaw%20of%20large%20numbers%5D(%23sec4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%5BThe%20sample%20mean%20as%20a%20random%20variable%5D(%23sec5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%5BThe%20normal%20distribution%5D(%23sec6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.%20%5BCentral%20limit%20theorem%5D(%23sec7)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%203.%20%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fapps%2FLec3WorkingWithMultipleRandomVariables.html%22%20target%3D%22_self%22%3EMultiple%20Random%20Variables%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%204.%20%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fapps%2FLec4EstimationHypothesisTestingAndConfidenceIntervals.html%22%20target%3D%22_self%22%3EEstimation%20and%20Hypothesis%20Testing%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%205.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3ESimple%20Linear%20Regression%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%206.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EOLS%20Assumptions%20for%20Causal%20Inference%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%207.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EInference%20and%20Omitted%20Variable%20Bias%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%208.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EMultiple%20Regression%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%209.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EControl%20Variables%20and%20Inference%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2010.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EReading%20Regression%20Tables%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2011.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3ENonlinear%20Regression%3A%20Polynomials%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2012.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3ENonlinear%20Regression%3A%20Logarithms%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2013.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3ENonlinear%20Regression%3A%20Interaction%20Terms%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2014.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EInternal%20and%20External%20Validity%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2015.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EPanel%20Data%20I%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2016.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EPanel%20Data%20II%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2017.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EBinary%20Dependent%20Variable%20Regressions%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2018.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EExperiments%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2019.%20%3Cspan%20class%3D%22soon%22%3EQuasi-Experiments%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D%22350px%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md('%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fapps%2FLec1Introduction.html%22%20target%3D%22_self%22%3E%E2%86%90%20Lecture%201%3C%2Fa%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md('%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fpdf%2FLec2RandomVariables.pdf%22%20target%3D%22_blank%22%3EDownload%20PDF%3C%2Fa%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md('%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fapps%2FLec3WorkingWithMultipleRandomVariables.html%22%20target%3D%22_self%22%3ELecture%203%20%E2%86%92%3C%2Fa%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22space-between%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22top%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%20Lecture%202%3A%20Random%20Variables%20and%20Probability%20Distributions%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Contents%0A%0A%20%20%20%202.1%20%5BProbability%20and%20statistics%5D(%23sec1)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%202.2%20%5BRandom%20variables%5D(%23sec2)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%202.3%20%5BDescribing%20a%20random%20variable%5D(%23sec3)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%202.4%20%5BLaw%20of%20large%20numbers%5D(%23sec4)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%202.5%20%5BThe%20sample%20mean%20as%20a%20random%20variable%5D(%23sec5)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%202.6%20%5BThe%20normal%20distribution%5D(%23sec6)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%202.7%20%5BCentral%20limit%20theorem%5D(%23sec7)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22sec1%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%23%202.1%20Probability%20and%20statistics%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20last%20lecture%2C%20we%20distinguished%20between%20a%20population%20and%20a%20sample.%20The%20population%20is%20what%20we%20ultimately%20want%20to%20learn%20about.%20It%20includes%20the%20entities%20we%20could%20have%20observed%2C%20not%20just%20the%20ones%20in%20our%20data%2C%20and%20the%20patterns%20we%20want%20to%20understand%2C%20such%20as%20how%20earnings%20differ%20by%20education%2C%20how%20unemployment%20varies%20by%20age%2C%20or%20how%20wages%20change%20over%20time.%20The%20sample%20is%20the%20smaller%20set%20of%20observations%20we%20actually%20collect%20or%20observe%2C%20such%20as%20the%20roughly%20sixty%20thousand%20households%20the%20Bureau%20of%20Labor%20Statistics%20(BLS)%20uses%20each%20month%20to%20produce%20the%20official%20U.S.%20figures%20on%20employment%20and%20earnings.%0A%0A%20%20%20%20Once%20we%20have%20a%20sample%2C%20we%20compute%20numbers%20that%20summarize%20what%20we%20see%20in%20the%20data.%20In%20the%20BLS%20figure%20from%20the%20last%20lecture%2C%20the%20%5C%24594%20gap%20in%20median%20weekly%20earnings%20between%20high%20school%20graduates%20and%20workers%20with%20a%20bachelor's%20degree%2C%20is%20one%20such%20number.%20It%20comes%20from%20one%20particular%20sample%20of%20households.%20If%20a%20different%20sixty%20thousand%20households%20had%20been%20contacted%2C%20the%20gap%20would%20probably%20come%20out%20a%20little%20different.%20It%20might%20be%20%5C%24581%20in%20one%20sample%20and%20%5C%24605%20in%20another.%20A%20number%20computed%20from%20a%20sample%20can%20therefore%20vary%20from%20one%20possible%20sample%20to%20another.%20We%20call%20these%20numbers%20*sample%20statistics*.%0A%0A%20%20%20%20This%20distinction%20between%20the%20population%20and%20the%20sample%20helps%20separate%20probability%20from%20statistics.%20Probability%20gives%20us%20a%20way%20to%20describe%20how%20a%20sample%20statistic%20behaves%20across%20different%20possible%20samples.%20It%20starts%20with%20a%20known%20population%20and%20asks%20what%20samples%20drawn%20from%20that%20population%20would%20look%20like.%20For%20example%2C%20if%20we%20knew%20the%20true%20earnings%20gap%20in%20the%20population%2C%20probability%20would%20tell%20us%20what%20gaps%20we%20should%20expect%20to%20see%20in%20samples%20and%20how%20much%20those%20gaps%20would%20vary%20across%20repeated%20samples.%20Statistics%20goes%20in%20the%20opposite%20direction.%20We%20instead%20observe%20one%20sample%20and%20use%20it%20to%20learn%20about%20an%20unknown%20population%20quantity.%20For%20example%2C%20we%20often%20use%20the%20sample%20mean%2C%20defined%20below%2C%20to%20learn%20about%20the%20population%20mean.%0A%0A%20%20%20%20Econometrics%20applies%20these%20ideas%20to%20economic%20questions%2C%20using%20sample%20data%20to%20learn%20about%20economic%20relationships%20in%20the%20population.%20This%20lecture%20and%20the%20next%20two%20introduce%20the%20probability%20and%20statistics%20we%20need%20for%20econometrics.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22sec2%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%23%202.2%20Random%20variables%0A%0A%20%20%20%20Last%20lecture%20we%20defined%20a%20variable%20as%20something%20we%20measure%20that%20can%20take%20different%20values%20across%20observations%20or%20data%20points.%20Hourly%20wage%20is%20a%20variable%20because%20different%20people%20earn%20different%20amounts.%20The%20number%20of%20emails%20you%20receive%20in%20an%20hour%20is%20also%20a%20variable%20because%20some%20hours%20bring%20zero%20emails%20while%20others%20bring%20five.%20Economists%20often%20distinguish%20variables%20by%20the%20kinds%20of%20values%20they%20can%20take.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Variable%20type%20%7C%20Definition%20%7C%20Example%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Continuous%20%7C%20Can%20take%20any%20possible%20numeric%20value%2C%20including%20decimals%20%7C%20Monthly%20income%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Discrete%20%7C%20Can%20take%20only%20specific%20values%20%7C%20Shoe%20sizes%20in%20half%20steps%2C%20such%20as%205%2C%205.5%2C%206%2C%20...%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Count%20%7C%20Takes%20nonnegative%20integer%20values%20%7C%20Number%20of%20children%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Ordinal%20%7C%20Ordered%20categories%2C%20where%20gaps%20between%20categories%20are%20not%20meaningful%20%7C%20Likert%20scale%2C%20from%20strongly%20disagree%20to%20strongly%20agree%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Categorical%20%7C%20Unordered%20categories%2C%20which%20may%20not%20include%20numbers%20%7C%20Names%20of%20U.S.%20states%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Binary%20%7C%20Takes%20only%20two%20values%20%7C%20Yes%20or%20no%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20three%20types%20of%20variables%20are%20numeric%20in%20the%20usual%20sense%2C%20so%20they%20can%20be%20added%2C%20averaged%2C%20and%20used%20in%20formulas.%20Ordinal%20variables%20are%20ordered%2C%20but%20their%20numerical%20values%20should%20be%20treated%20carefully%20because%20the%20gaps%20between%20categories%20may%20not%20be%20meaningful.%20Categorical%20and%20binary%20variables%20are%20different.%20Their%20values%20are%20labels%20rather%20than%20amounts%2C%20so%20it%20usually%20does%20not%20make%20sense%20to%20add%20or%20average%20them.%0A%0A%20%20%20%20A%20*random%20variable*%20is%20a%20numerical%20summary%20of%20an%20outcome%20or%20data%20point%20we%20cannot%0A%20%20%20%20predict%20in%20advance.%20We%20write%20a%20random%20variable%20with%20a%20capital%20letter%20such%0A%20%20%20%20as%20%24X%24.%20The%20number%20of%20emails%20you%20receive%20in%20the%20next%20hour%20is%20a%20random%0A%20%20%20%20variable%2C%20because%20before%20the%20hour%20starts%20we%20cannot%20say%20which%20value%20it%0A%20%20%20%20will%20take%2C%20only%20which%20values%20are%20possible%20and%20roughly%20how%20likely%20each%20is.%0A%20%20%20%20A%20person's%20hourly%20wage%20is%20a%20random%20variable%20when%20we%20picture%20drawing%20one%0A%20%20%20%20person%20at%20random%20from%20the%20population%2C%20because%20we%20will%20not%20know%20that%0A%20%20%20%20person's%20wage%20until%20we%20draw%20them.%0A%0A%20%20%20%20The%20*probability%20distribution*%20of%20a%20random%20variable%20describes%20how%20likely%0A%20%20%20%20each%20of%20its%20possible%20values%20is.%20What%20this%20description%20looks%20like%20depends%0A%20%20%20%20on%20whether%20the%20variable%20is%20discrete%20or%20continuous.%0A%0A%20%20%20%20A%20discrete%20random%20variable%20takes%20values%20that%20come%20in%20separate%2C%20countable%0A%20%20%20%20steps%2C%20such%20as%20%240%2C%201%2C%202%2C%203%2C%20%5Cldots%24%20emails%20per%20hour.%20Its%20*probability%0A%20%20%20%20mass%20function*%20lists%20the%20possible%20outcomes%20%24x_1%2C%20x_2%2C%20%5Cldots%2C%20x_K%24%20together%0A%20%20%20%20with%20the%20probability%20of%20each.%20We%20write%20%24p_i%20%3D%20%5CPr(X%20%3D%20x_i)%24%20for%20the%0A%20%20%20%20probability%20that%20%24X%24%20takes%20the%20particular%20value%20%24x_i%24.%20The%20*cumulative%0A%20%20%20%20probability%20distribution*%2C%20written%20%24%5CPr(X%20%5Cle%20x)%24%2C%20is%20the%20probability%20that%0A%20%20%20%20%24X%24%20comes%20out%20at%20or%20below%20the%20value%20%24x%24.%20The%20table%20below%20is%20one%20possible%0A%20%20%20%20distribution%20for%20the%20number%20of%20emails%20received%20in%20an%20hour.%20Most%20hours%20bring%20zero%20emails%2C%20a%20few%0A%20%20%20%20bring%20one%2C%20and%20the%20chance%20of%20more%20than%20that%20drops%20off%20quickly.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Number%20of%20emails%20in%20an%20hour%2C%20%24%5Cboldsymbol%7Bx_i%7D%24%20%7C%200%20%7C%201%20%7C%202%20%7C%203%20%7C%204%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Probability%2C%20%24%5C%3A%5CPr(X%20%3D%20x_i)%24%7C%200.80%20%7C%200.10%20%7C%200.06%20%7C%200.03%20%7C%200.01%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Cumulative%20probability%2C%20%24%5C%3A%5CPr(X%20%5Cle%20x_i)%24%7C%200.80%20%7C%200.90%20%7C%200.96%20%7C%200.99%20%7C%201.00%20%7C%0A%0A%20%20%20%20A%20continuous%20random%20variable%20takes%20values%20on%20a%20smooth%20range%20with%20no%20gaps%2C%0A%20%20%20%20so%20it%20can%20equal%20%5C%2418.46%2C%20%5C%2418.47%2C%20%5C%2418.461%2C%20or%20any%20nearby%20number.%20There%0A%20%20%20%20are%20infinitely%20many%20such%20values%2C%20and%20we%20cannot%20list%20them%2C%20so%20we%20cannot%0A%20%20%20%20give%20a%20probability%20to%20each%20one%20individually.%20Instead%20we%20describe%20continuous%20random%20variables%0A%20%20%20%20with%20a%20curve%20called%20the%20*probability%20density%20function*%20(this%20is%20analogous%20to%20the%20probability%20mass%20function%20for%20discrete%20random%20variables).%20The%20area%0A%20%20%20%20under%20that%20curve%20between%20any%20two%20values%20is%20the%20probability%20that%20the%0A%20%20%20%20variable%20falls%20between%20those%20two%20values.%20The%20cumulative%20distribution%0A%20%20%20%20still%20gives%20the%20probability%20of%20being%20at%20or%20below%20a%20value%2C%20just%20as%20in%20the%0A%20%20%20%20discrete%20case.%20The%20figure%20below%20uses%20hourly%20wages%20as%20the%20continuous%0A%20%20%20%20example.%20We%20define%20the%20probability%20density%20function%20formally%20in%20the%20appendix.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20stats)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Hourly%20wage%20modeled%20as%20a%20lognormal%20distribution%20(right-skewed).%0A%20%20%20%20_dist%20%3D%20stats.lognorm(s%3D0.5%2C%20scale%3D20.0)%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%2080.0%2C%20400)%0A%20%20%20%20_frame%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22wage%22%3A%20_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22pdf%22%3A%20_dist.pdf(_x)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22cdf%22%3A%20_dist.cdf(_x)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%0A%20%20%20%20_brush%20%3D%20alt.selection_interval(encodings%3D%5B%22x%22%5D%2C%20empty%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20_pdf_base%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_frame)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_area(color%3D%22%231f4e79%22%2C%20opacity%3D0.18)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22wage%3AQ%22%2C%20title%3D%22Hourly%20wage%20(USD)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22pdf%3AQ%22%2C%20title%3D%22Density%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_pdf_hl%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_frame)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_area(color%3D%22%231f4e79%22%2C%20opacity%3D0.55)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(x%3D%22wage%3AQ%22%2C%20y%3D%22pdf%3AQ%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.transform_filter(_brush)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_pdf_chart%20%3D%20(_pdf_base%20%2B%20_pdf_hl).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D560%2C%20height%3D240%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Probability%20density%20function%20(PDF)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_cdf_line%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_frame)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22%231f4e79%22%2C%20size%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22wage%3AQ%22%2C%20title%3D%22Hourly%20wage%20(USD)%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22cdf%3AQ%22%2C%20title%3D%22Cumulative%20probability%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Aggregate%20both%20endpoints%20in%20one%20pass%20with%20unique%20output%20field%20names%20so%0A%20%20%20%20%23%20the%20upper-%20and%20lower-endpoint%20layers%20cannot%20collide%20on%20a%20shared%20field.%0A%20%20%20%20_ep%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_frame)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.transform_filter(_brush)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.transform_aggregate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lo_wage%3D%22min(wage)%22%2C%20hi_wage%3D%22max(wage)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lo_cdf%3D%22min(cdf)%22%2C%20hi_cdf%3D%22max(cdf)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.transform_calculate(zero%3D%220%22)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Horizontal%20lines%20from%20the%20CDF%20curve%20back%20to%20the%20vertical%20axis%20at%20the%20two%0A%20%20%20%20%23%20selected%20wages%2C%20so%20the%20cumulative%20probabilities%20can%20be%20read%20off%20the%20axis.%0A%20%20%20%20_h_lo%20%3D%20_ep.mark_rule(color%3D%22orange%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%203%5D%2C%20size%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22lo_cdf%3AQ%22%2C%20x%3D%22zero%3AQ%22%2C%20x2%3D%22lo_wage%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_h_hi%20%3D%20_ep.mark_rule(color%3D%22orange%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%203%5D%2C%20size%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y%3D%22hi_cdf%3AQ%22%2C%20x%3D%22zero%3AQ%22%2C%20x2%3D%22hi_wage%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Vertical%20lines%20from%20the%20x-axis%20up%20to%20the%20CDF%20curve%20at%20the%20selected%20wages.%0A%20%20%20%20_v_lo%20%3D%20_ep.mark_rule(color%3D%22orange%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%203%5D%2C%20size%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22lo_wage%3AQ%22%2C%20y%3D%22zero%3AQ%22%2C%20y2%3D%22lo_cdf%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_v_hi%20%3D%20_ep.mark_rule(color%3D%22orange%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%203%5D%2C%20size%3D2).encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x%3D%22hi_wage%3AQ%22%2C%20y%3D%22zero%3AQ%22%2C%20y2%3D%22hi_cdf%3AQ%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_cdf_chart%20%3D%20(_cdf_line%20%2B%20_h_lo%20%2B%20_h_hi%20%2B%20_v_lo%20%2B%20_v_hi).properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D560%2C%20height%3D240%2C%20title%3D%22Cumulative%20distribution%20function%20(CDF)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Declare%20the%20brush%20at%20the%20outermost%20level%20so%20both%20sub-views%20see%20it%2C%20then%0A%20%20%20%20%23%20wrap%20in%20mo.ui.altair_chart%20so%20the%20Python%20side%20can%20read%20the%20brushed%20range%0A%20%20%20%20%23%20and%20report%20the%20probability%20in%20the%20paragraph%20below.%0A%20%20%20%20_combined%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.vconcat(_pdf_chart%2C%20_cdf_chart)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.add_params(_brush)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20wage_chart%20%3D%20mo.ui.altair_chart(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_combined%2C%20chart_selection%3DFalse%2C%20legend_selection%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20wage_dist%20%3D%20_dist%0A%20%20%20%20wage_chart%0A%20%20%20%20return%20wage_chart%2C%20wage_dist%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo%2C%20wage_chart%2C%20wage_dist)%3A%0A%20%20%20%20_sel%20%3D%20wage_chart.value%0A%20%20%20%20_intro%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Drag%20across%20the%20top%20chart%20to%20pick%20a%20range%20of%20hourly%20wages.%20The%20dark%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22shaded%20band%20that%20appears%20is%20the%20probability%20that%20a%20randomly%20chosen%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22worker%20has%20a%20wage%20in%20that%20range.%20The%20lower%20chart%20shows%20the%20cumulative%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22probability%20at%20each%20end%20of%20the%20selected%20range.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20_sel%20is%20not%20None%20and%20len(_sel)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_a%20%3D%20float(_sel%5B%22wage%22%5D.min())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_b%20%3D%20float(_sel%5B%22wage%22%5D.max())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_prob%20%3D%20float(wage_dist.cdf(_b)%20-%20wage_dist.cdf(_a))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_caption_body%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22You%20picked%20wages%20between%20%5C%24%7B_a%3A%2C.0f%7D%20and%20%5C%24%7B_b%3A%2C.0f%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22and%20the%20probability%20that%20a%20worker%20earns%20in%20that%20range%20is%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24P(X%20%5Cin%20%5B%7B_a%3A%2C.0f%7D%2C%20%7B_b%3A%2C.0f%7D%5D)%20%3D%20%7B_prob%3A.2f%7D%24.%20This%20is%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22also%20the%20vertical%20gap%20between%20the%20two%20horizontal%20dashed%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22lines%20on%20the%20cumulative%20distribution%20chart%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24P(X%20%5Cleq%20%7B_b%3A%2C.0f%7D)%20-%20P(X%20%5Cleq%20%7B_a%3A%2C.0f%7D)%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cspan%20style%3D%22display%3Ablock%3Bmargin%3A0.2rem%20auto%201rem%3B'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'max-width%3A560px%3Bfont-size%3A0.85rem%3Bline-height%3A1.45%3B'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'color%3A%236b7280%3Btext-align%3Acenter%3B%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20_caption_body%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20%22%3C%2Fspan%3E%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_output%20%3D%20mo.vstack(%5B_caption%2C%20_intro%5D)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_output%20%3D%20_intro%0A%20%20%20%20_output%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22sec3%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%23%202.3%20Describing%20a%20random%20variable%0A%0A%20%20%20%20Two%20numbers%20summarize%20most%20of%20what%20we%20care%20about%20in%20a%20random%20variable%2C%0A%20%20%20%20its%20average%20and%20its%20spread.%20The%20*expected%20value*%20of%20%24X%24%20is%20the%20long-run%0A%20%20%20%20average%20of%20%24X%24%20across%20many%20draws.%20We%20write%20it%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5D%20%5Cequiv%0A%20%20%20%20%5Cmu_X%24%20and%20compute%20it%20as%20a%20weighted%20average%20of%20the%20possible%20outcomes%2C%0A%20%20%20%20with%20each%20possible%20outcome%20weighted%20by%20its%20probability%20of%20occurring.%20When%20%24X%24%20is%20discrete%20and%0A%20%20%20%20takes%20%24K%24%20possible%20values%20%24x_1%2C%20%5Cldots%2C%20x_K%24%20with%20probabilities%0A%20%20%20%20%24p_i%20%3D%20%5CPr(X%20%3D%20x_i)%24%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5D%20%5Cequiv%20%5Cmu_X%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BK%7D%20x_i%20%5Ccdot%20p_i.%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Outcomes%20that%20are%20more%20likely%20pull%20the%20average%20toward%20them%2C%20and%20outcomes%0A%20%20%20%20that%20are%20unlikely%20barely%20move%20it.%0A%0A%20%20%20%20The%20*variance*%20of%20%24X%24%20measures%20how%20spread%20out%20the%20outcomes%20of%20%24X%24%20are%0A%20%20%20%20around%20%24%5Cmu_X%24.%20We%20write%20it%20as%20%24%5Ctext%7Bvar%7D(X)%20%5Cequiv%20%5Csigma_X%5E2%24.%20If%20most%20outcomes%20sit%20close%20to%20%24%5Cmu_X%24%2C%20the%20variance%20is%0A%20%20%20%20small.%20If%20outcomes%20routinely%20land%20far%20above%20and%20far%20below%20%24%5Cmu_X%24%2C%20the%0A%20%20%20%20variance%20is%20large.%20Formally%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Ctext%7Bvar%7D(X)%20%5Cequiv%20%5Csigma_X%5E2%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BK%7D%20(x_i%20-%20%5Cmu_X)%5E2%20%5Ccdot%20p_i.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20variance%20is%20in%20squared%20units%2C%20so%20a%20variance%20computed%20from%20wages%20in%0A%20%20%20%20dollars%20comes%20out%20in%20dollars%20squared%2C%20which%20is%20hard%20to%20interpret.%20We%0A%20%20%20%20usually%20report%20the%20spread%20instead%20as%20the%20*standard%20deviation*%2C%20the%20square%0A%20%20%20%20root%20of%20the%20variance%2C%20%24%5Ctext%7Bsd%7D(X)%20%5Cequiv%20%5Csigma_X%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Csigma_X%5E2%7D%24%2C%0A%20%20%20%20which%20is%20back%20in%20the%20original%20units%20of%20%24X%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20expected%20value%2C%20the%20variance%2C%20and%20the%20standard%20deviation%20are%0A%20%20%20%20properties%20of%20the%20true%20population%20distribution%2C%20so%20computing%20them%0A%20%20%20%20requires%20the%20true%20probabilities%20%24p_i%24.%20With%20real%20data%20we%20never%20observe%0A%20%20%20%20those%20probabilities.%20We%20instead%20have%20a%20sample%20of%20%24n%24%20observed%20outcomes%0A%20%20%20%20%24X_1%2C%20X_2%2C%20%5Cldots%2C%20X_n%24%2C%20from%20which%20we%20form%20the%20*sample%20mean*%20and%20the%0A%20%20%20%20*sample%20variance*%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20X_i%2C%20%5Cqquad%20%5Chat%7B%5Csigma%7D_X%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn-1%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20(X_i%20-%20%5Chat%7B%5Cmu%7D_X)%5E2%2C%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20with%20%24%5Chat%7B%5Csigma%7D_X%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Chat%7B%5Csigma%7D_X%5E2%7D%24.%20The%20hat%2C%20%24%5Chat%7B%5Ccdot%7D%24%2C%20marks%20a%20quantity%0A%20%20%20%20estimated%20from%20data%2C%20as%20opposed%20to%20the%20unobserved%20population%20value%0A%20%20%20%20written%20without%20a%20hat.%20As%20%24n%24%20grows%20the%20sample%20versions%20get%20close%20to%20the%0A%20%20%20%20population%20versions%2C%20because%20outcomes%20show%20up%20in%20the%20sample%20in%20roughly%0A%20%20%20%20the%20proportions%20given%20by%20their%20underlying%20probabilities.%20That%20result%20is%0A%20%20%20%20the%20law%20of%20large%20numbers%2C%20which%20we%20come%20back%20to%20in%20in%20the%20next%20section.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20%3Cspan%20style%3D%22color%3A%230b68cb%22%3EDiscrete%20random%20variable%20example%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20Suppose%20the%20true%20distribution%20of%20emails%20per%20hour%20is%20the%20one%20from%20Section%0A%20%20%20%202.2%2C%20and%20that%20over%2024%20separate%20hours%20you%20record%20how%20many%20emails%20arrived%20in%0A%20%20%20%20each%20one.%20The%20first%20row%20of%20the%20table%20lists%20the%20possible%20outcomes.%20The%0A%20%20%20%20second%20row%20gives%20the%20true%20probabilities%20of%20each%20possible%20outcome%2C%20which%20in%20reality%20we%20would%20not%0A%20%20%20%20know.%20The%20third%20row%20gives%20the%20number%20of%20hours%20in%20which%20each%20outcome%20was%0A%20%20%20%20actually%20occurred.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Number%20of%20emails%20in%20an%20hour%20%24%5Cboldsymbol%7Bx_i%7D%24%20%7C%200%20%7C%201%20%7C%202%20%7C%203%20%7C%204%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Probability%20of%20that%20many%20emails%20in%20an%20hour%20%24p_i%24%20(unobserved)%20%7C%200.80%20%7C%200.10%20%7C%200.06%20%7C%200.03%20%7C%200.01%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20Number%20of%20hours%20with%20%24x_i%24%20emails%20(observed)%20%7C%2019%20%7C%204%20%7C%201%20%7C%200%20%7C%200%20%7C%0A%0A%20%20%20%20If%20we%20knew%20the%20probabilities%2C%20the%20expected%20number%20of%20emails%20in%20an%20hour%0A%20%20%20%20would%20be%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cmu_X%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BK%7D%20x_i%20%5Ccdot%20p_i%20%3D%200%20%5Ctimes%200.80%20%2B%201%20%5Ctimes%200.10%20%2B%202%20%5Ctimes%200.06%20%2B%203%20%5Ctimes%200.03%20%2B%204%20%5Ctimes%200.01%20%3D%200.35.%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20practice%20we%20do%20not%20know%20the%20probabilities%2C%20so%20we%20estimate%20the%20expected%0A%20%20%20%20value%20with%20the%20sample%20mean%20of%20the%2024%20observed%20hours%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20X_i%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B24%7D%5Cbig(0%20%5Ctimes%2019%20%2B%201%20%5Ctimes%204%20%2B%202%20%5Ctimes%201%20%2B%203%20%5Ctimes%200%20%2B%204%20%5Ctimes%200%5Cbig)%20%3D%200.25.%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20sample%20mean%20of%20%240.25%24%20does%20not%20match%20the%20expected%20value%20of%20%240.35%24%0A%20%20%20%20because%2024%20hours%20is%20a%20small%20sample%2C%20and%20across%20those%2024%20hours%20the%0A%20%20%20%20outcomes%20did%20not%20show%20up%20in%20exactly%20the%20proportions%20given%20by%20the%0A%20%20%20%20underlying%20probabilities.%20With%20many%20more%20hours%20of%20data%20the%20counts%20in%0A%20%20%20%20each%20column%20would%20line%20up%20closer%20to%20the%20probabilities%2C%20and%20the%20sample%0A%20%20%20%20mean%20would%20land%20closer%20to%20%240.35%24.%20That%20is%20the%20law%20of%20large%20numbers.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22sec4%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%23%202.4%20Law%20of%20large%20numbers%0A%0A%20%20%20%20The%20*law%20of%20large%20numbers*%20says%20that%20the%20sample%20mean%20%24%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%24%20gets%20close%20to%20the%20true%20expected%20value%20%24%5Cmu_X%24%20when%20the%20sample%20is%20large.%20The%20intuition%20is%20that%2C%20in%20a%20large%20random%20sample%2C%20each%20type%20of%20outcome%20appears%20about%20as%20often%20as%20its%20probability%20predicts.%20As%20a%20result%2C%20the%20average%20computed%20from%20the%20sample%2C%20%24%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%24%2C%20gets%20close%20to%20the%20average%20we%20would%20get%20from%20the%20full%20population%2C%20%24%5Cmu_X%24.%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20small%20sample%2C%20random%20chance%20can%20still%20have%20a%20large%20effect.%20In%20the%20example%2C%20the%20sample%20mean%20of%20%240.25%24%20was%20below%20the%20true%20value%20of%20%240.35%24%20because%20the%2024-hour%20sample%20happened%20to%20include%20fewer%20emails%20than%20expected.%20With%20more%20observations%2C%20this%20random%20variation%20shrinks.%20A%20sample%20of%20one%20hundred%20hours%20would%20usually%20be%20closer%20to%20%240.35%24%2C%20a%20sample%20of%20one%20thousand%20hours%20closer%20still%2C%20and%20a%20sample%20of%20ten%20thousand%20hours%20would%20be%20very%20close%20to%20%240.35%24.%0A%0A%20%20%20%20Use%20the%20controls%20below.%20Pick%20a%20random%20variable%20from%20the%20dropdown%2C%20set%20the%0A%20%20%20%20number%20of%20observations%2C%20and%20click%20''Draw%20new%20sample''.%20The%20wiggly%20line%20is%20the%0A%20%20%20%20running%20sample%20mean%2C%20recomputed%20each%20time%20a%20new%20observation%20is%20added%20to%20the%20sample%20mean.%20The%20flat%0A%20%20%20%20orange%20line%20is%20the%20true%20expected%20value%20of%20the%20chosen%20random%20variable.%20The%0A%20%20%20%20running%20mean%20swings%20wildly%20when%20only%20a%20handful%20of%20observations%20are%20used%2C%20and%0A%20%20%20%20settles%20onto%20the%20flat%20line%20as%20the%20sample%20grows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20lln_process%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Fair%20die%20(1%20to%206)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Coin%20flip%20(0%20or%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Fair%20die%20(1%20to%206)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20variable%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(lln_process%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(lln_process%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_noun_pl%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22die%20rolls%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20lln_process.value%20%3D%3D%20%22Fair%20die%20(1%20to%206)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22coin%20flips%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20lln_draws%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%20stop%3D5000%2C%20step%3D10%2C%20value%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22Number%20of%20%7B_noun_pl%7D%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20lln_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Draw%20new%20sample%22%2C%20value%3D0%2C%20on_click%3Dlambda%20c%3A%20c%20%2B%201%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Blln_process%2C%20lln_draws%2C%20lln_button%5D)%0A%20%20%20%20return%20lln_button%2C%20lln_draws%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20lln_button%2C%20lln_draws%2C%20lln_process%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd)%3A%0A%20%20%20%20_seed%20%3D%202024%20%2B%20lln_button.value%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(_seed)%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20lln_draws.value%0A%20%20%20%20_name%20%3D%20lln_process.value%0A%0A%20%20%20%20if%20_name%20%3D%3D%20%22Fair%20die%20(1%20to%206)%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draws%20%3D%20_rng.integers(1%2C%207%2C%20_n).astype(float)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_true%20%3D%203.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_noun_sg%20%3D%20%22die%20roll%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_noun_pl%20%3D%20%22die%20rolls%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_draws%20%3D%20_rng.integers(0%2C%202%2C%20_n).astype(float)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_true%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_noun_sg%20%3D%20%22coin%20flip%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_noun_pl%20%3D%20%22coin%20flips%22%0A%0A%20%20%20%20_running%20%3D%20np.cumsum(_draws)%20%2F%20np.arange(1%2C%20_n%20%2B%201)%0A%20%20%20%20_path%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%22draw%22%3A%20np.arange(1%2C%20_n%20%2B%201)%2C%20%22mean%22%3A%20_running%7D)%0A%0A%20%20%20%20_line%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_path)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22%231f4e79%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22draw%3AQ%22%2C%20title%3Df%22Number%20of%20%7B_noun_pl%7D%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22mean%3AQ%22%2C%20title%3D%22Running%20sample%20mean%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_rule%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22y%22%3A%20%5B_true%5D%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_rule(color%3D%22orange%22%2C%20size%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(y%3D%22y%3AQ%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_line%20%2B%20_rule).properties(width%3D560%2C%20height%3D300)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_chart%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22The%20wiggly%20line%20is%20the%20sample%20mean%20recomputed%20after%20each%20new%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_noun_sg%7D.%20The%20flat%20orange%20line%20is%20the%20true%20expected%20value%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22of%20the%20chosen%20random%20variable.%20With%20only%20a%20handful%20of%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B_noun_pl%7D%20the%20running%20sample%20mean%20lands%20almost%20anywhere.%20With%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22thousands%20of%20%7B_noun_pl%7D%20it%20moves%20close%20to%20the%20expected%20value.%22%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22sec5%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%23%202.5%20The%20sample%20mean%20as%20a%20random%20variable%0A%0A%20%20%20%20The%20sample%20mean%20is%20computed%20from%20random%20outcomes%2C%20so%20the%20sample%20mean%20is%0A%20%20%20%20itself%20a%20random%20variable.%20The%20%240.25%24%20emails%20per%20hour%20we%20computed%20in%20the%0A%20%20%20%20example%20above%20came%20from%20one%20particular%20set%20of%2024%20hours.%20If%20we%20sat%20at%20the%0A%20%20%20%20desk%20for%20a%20different%2024%20hours%20and%20counted%20again%2C%20we%20would%20compute%20a%0A%20%20%20%20different%20sample%20mean%2C%20perhaps%20%240.42%24%20or%20%240.29%24.%20Repeat%20the%20experiment%0A%20%20%20%20many%20times%20and%20the%20sample%20mean%20takes%20on%20its%20own%20distribution%20of%20values%2C%0A%20%20%20%20with%20its%20own%20expected%20value%20and%20its%20own%20standard%20deviation.%0A%0A%20%20%20%20The%20expected%20value%20of%20the%20sample%20mean%20is%20the%20population%20expected%20value%0A%20%20%20%20%24%5Cmu_X%24.%20The%20standard%20deviation%20of%20the%20sample%20mean%20is%20the%20population%0A%20%20%20%20standard%20deviation%20divided%20by%20%24%5Csqrt%7Bn%7D%24%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Cmathbb%7BE%7D%5B%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%5D%20%3D%20%5Cmu_X%2C%20%5Cqquad%20%5Csigma_%7B%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Csigma_X%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D.%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20equation%20says%20that%20across%20many%20repeats%20of%20the%20experiment%2C%20the%0A%20%20%20%20sample%20means%20average%20out%20to%20the%20true%20population%20mean.%20That%20is%20why%0A%20%20%20%20%24%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%24%20is%20a%20sensible%20guess%20for%20%24%5Cmu_X%24%20on%20any%20one%20run.%20The%20second%0A%20%20%20%20equation%20says%20the%20sample%20mean's%20variance%20shrinks%20as%20the%20sample%20size%20%24n%24%0A%20%20%20%20grows%2C%20so%20a%20larger%20sample%20produces%20a%20sample%20mean%20that%20typically%20lands%20closer%20to%0A%20%20%20%20%24%5Cmu_X%24.%20Because%20%24%5Csigma_X%24%20is%20itself%20an%20unobserved%20property%20of%20the%0A%20%20%20%20population%2C%20we%20approximate%20it%20with%20the%20sample%20standard%20deviation%0A%20%20%20%20%24%5Chat%7B%5Csigma%7D_X%24%2C%20giving%20the%20*standard%20error*%20of%20the%20sample%20mean%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Ctext%7Bse%7D(%5Chat%7B%5Cmu%7D_X)%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Chat%7B%5Csigma%7D_X%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D.%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20standard%20error%20is%20the%20spread%20of%20the%20sample%20mean%20as%20we%20can%20actually%0A%20%20%20%20estimate%20it%20from%20one%20observed%20sample%2C%20and%20it%20is%20the%20quantity%20we%20will%20use%0A%20%20%20%20later%20to%20build%20hypothesis%20tests%20and%20confidence%20intervals.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22sec6%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%23%202.6%20The%20normal%20distribution%0A%0A%20%20%20%20A%20few%20continuous%20distributions%20come%20up%20so%20often%20in%20statistics%20and%0A%20%20%20%20econometrics%20that%20they%20have%20names.%20The%20most%20important%20by%20a%20wide%20margin%0A%20%20%20%20is%20the%20*normal%20distribution*.%0A%0A%20%20%20%20The%20normal%20distribution%20is%20a%20continuous%2C%20symmetric%2C%20bell-shaped%0A%20%20%20%20distribution.%20Its%20shape%20is%20fixed%20once%20we%20choose%20two%20numbers%2C%20its%20mean%0A%20%20%20%20%24%5Cmu%24%20and%20its%20variance%20%24%5Csigma%5E2%24%2C%20and%20we%20write%20it%0A%20%20%20%20%24%5Cmathcal%7BN%7D(%5Cmu%2C%20%5Csigma%5E2)%24.%20The%20mean%20%24%5Cmu%24%20is%20where%20the%20peak%20of%20the%0A%20%20%20%20bell%20sits%20on%20the%20horizontal%20axis.%20The%20variance%20%24%5Csigma%5E2%24%20controls%20how%0A%20%20%20%20wide%20the%20bell%20is%20around%20that%20peak%2C%20with%20larger%20%24%5Csigma%5E2%24%20giving%20a%20wider%0A%20%20%20%20bell.%20The%20area%20under%20the%20curve%20between%20%24%5Cmu%20-%201.96%5Csigma%24%20and%0A%20%20%20%20%24%5Cmu%20%2B%201.96%5Csigma%24%20is%20exactly%20%240.95%24%2C%20a%20fact%20we%20will%20use%20repeatedly%0A%20%20%20%20later%20in%20the%20course.%20The%20reason%20the%20normal%20distribution%20shows%20up%0A%20%20%20%20everywhere%20is%20the%20central%20limit%20theorem%2C%20which%20we%20introduce%20in%20the%20next%20section.%0A%0A%20%20%20%20The%20*standard%20normal%20distribution*%20is%20normal%20distribution%20with%20%24%5Cmu%20%3D%200%24%0A%20%20%20%20and%20%24%5Csigma%20%3D%201%24%2C%20written%20%24%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C%201)%24.%20Any%0A%20%20%20%20normal%20random%20variable%20can%20be%20turned%20into%20a%20standard%20normal%20random%20variable%20by%20*standardizing*%0A%20%20%20%20it.%20If%20%24X%20%5Csim%20%5Cmathcal%7BN%7D(%5Cmu%2C%20%5Csigma%5E2)%24%2C%20where%20%24%5Csim%24%20is%20read%20as%0A%20%20%20%20''distributed%20as''%2C%20then%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20Z%20%3D%20%5Cfrac%7BX%20-%20%5Cmu%7D%7B%5Csigma%7D%20%5Csim%20%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C%201).%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Standardizing%20changes%20the%20units%20of%20a%20variable%20without%20changing%20its%20relative%20position%20in%20the%20distribution.%20Subtracting%20%24%5Cmu%24%20shifts%20the%20variable%20so%20its%20center%20sits%20at%20zero%2C%20and%20dividing%20by%20%24%5Csigma%24%20stretches%20or%20shrinks%20the%20variable%20so%20its%20variance%20is%20one.%20That%20is%20how%20two%20normal%20variables%20measured%20on%20different%20scales%2C%20such%20as%20test%20scores%20in%20points%20and%20wages%20in%20dollars%2C%20can%20be%20easily%20compared.%0A%0A%20%20%20%20The%20figure%20below%20shows%20standardization%20in%20action.%20The%20slider%20%24%5Cmu%24%0A%20%20%20%20moves%20the%20normal%20on%20the%20left%20across%20the%20horizontal%20axis%2C%20the%20slider%0A%20%20%20%20%24%5Csigma%24%20widens%20or%20narrows%20it%2C%20and%20the%20chart%20on%20the%20right%20redraws%20the%0A%20%20%20%20same%20variable%20after%20standardizing.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20std_mu%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-3.0%2C%20stop%3D3.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Mean%20%24%5Cmu%24%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20std_sigma%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.5%2C%20stop%3D3.0%2C%20step%3D0.5%2C%20value%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Standard%20deviation%20%24%5Csigma%24%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bstd_mu%2C%20std_sigma%5D)%0A%20%20%20%20return%20std_mu%2C%20std_sigma%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20stats%2C%20std_mu%2C%20std_sigma)%3A%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20std_mu.value%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%20std_sigma.value%0A%0A%20%20%20%20_xl%20%3D%20np.linspace(-9.0%2C%209.0%2C%20400)%0A%20%20%20%20_left%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_xl%2C%20%22density%22%3A%20stats.norm.pdf(_xl%2C%20_mu%2C%20_sigma)%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22%231f4e79%22%2C%20size%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22x%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B-9%2C%209%5D)%2C%20title%3D%22X%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22density%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%200.85%5D)%2C%20title%3D%22Density%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(width%3D250%2C%20height%3D240%2C%20title%3D%22X%20before%20standardizing%22)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_xr%20%3D%20np.linspace(-4.0%2C%204.0%2C%20400)%0A%20%20%20%20_right%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_xr%2C%20%22density%22%3A%20stats.norm.pdf(_xr%2C%200.0%2C%201.0)%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22%231f4e79%22%2C%20size%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22x%3AQ%22%2C%20title%3D%22Z%20%3D%20(X%20-%20%CE%BC)%20%2F%20%CF%83%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22density%3AQ%22%2C%20scale%3Dalt.Scale(domain%3D%5B0%2C%200.85%5D)%2C%20title%3D%22Density%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(width%3D250%2C%20height%3D240%2C%20title%3D%22X%20after%20standardizing%22)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.hconcat(_left%2C%20_right)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22The%20left%20chart%20is%20the%20normal%20%24%5Cmathcal%7BN%7D(%5Cmu%2C%20%5Csigma%5E2)%24%20you%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22set%20with%20the%20sliders.%20The%20right%20chart%20is%20the%20same%20variable%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22after%20standardizing%20with%20%24Z%20%3D%20(X%20-%20%5Cmu)%2F%5Csigma%24.%20The%20right%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chart%20never%20moves%2C%20because%20the%20standardization%20always%20produces%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22the%20standard%20normal%20distribution%20%24%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C%201)%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Ca%20id%3D%22sec7%22%3E%3C%2Fa%3E%0A%20%20%20%20%23%23%202.7%20Central%20limit%20theorem%0A%0A%20%20%20%20Picture%20running%20the%20same%20study%20many%20times.%20Each%20study%20uses%20a%20fresh%20sample%0A%20%20%20%20of%20size%20%24n%24%20from%20the%20same%20population%2C%20and%20each%20study%20produces%20one%20sample%0A%20%20%20%20mean%20%24%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%24.%20The%20collection%20of%20those%20sample%20means%2C%20one%20per%20study%2C%20is%0A%20%20%20%20itself%20a%20distribution.%20Section%202.5%20already%20told%20us%20this%20distribution%20is%0A%20%20%20%20centered%20on%20%24%5Cmu_X%24%20with%20standard%20deviation%20%24%5Csigma_X%20%2F%20%5Csqrt%7Bn%7D%24.%20The%20*central%20limit%0A%20%20%20%20theorem*%20tells%20us%20about%20its%20shape.%20It%20says%20that%20for%20large%20enough%20%24n%24%2C%20the%0A%20%20%20%20distribution%20of%20%24%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%24%20is%20well%20approximated%20by%20a%20bell%20curve%2C%20the%0A%20%20%20%20normal%20distribution%20we%20just%20described%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%20%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%20%5C%20%5Csim%5C%20%5Cmathcal%7BN%7D%5C!%5Cleft(%5Cmu_X%2C%5C%20%5Csigma_%7B%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%7D%5E2%5Cright).%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%5Cmathcal%7BN%7D(%5Cmu_X%2C%20%5Csigma_%7B%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%7D%5E2)%24%20is%20the%20normal%0A%20%20%20%20distribution%20with%20mean%20%24%5Cmu_X%24%20and%20variance%0A%20%20%20%20%24%5Csigma_%7B%5Chat%7B%5Cmu%7D_X%7D%5E2%20%3D%20%5Csigma_X%5E2%20%2F%20n%24.%20The%20remarkable%20part%20is%20that%20the%20approximation%20holds%0A%20%20%20%20whether%20or%20not%20%24X%24%20itself%20is%20normal.%20The%20raw%20data%20can%20be%20sharply%0A%20%20%20%20skewed%20or%20piled%20up%20at%20a%20single%20value%2C%20but%20as%20soon%20as%20%24n%24%20is%20at%20all%0A%20%20%20%20sizeable%2C%20the%20sample%20means%20computed%20from%20them%20are%20distributed%20normally.%0A%20%20%20%20This%20is%20the%20result%20that%20lets%20us%20build%20hypothesis%20tests%20for%20any%20sample%0A%20%20%20%20mean%20later%20in%20the%20course.%0A%0A%20%20%20%20Use%20the%20controls%20below.%20Pick%20a%20deliberately%20non-normal%20random%20variable%2C%0A%20%20%20%20set%20the%20sample%20size%20%24n%24%20behind%20each%20mean%2C%20and%20choose%20how%20many%20means%20to%0A%20%20%20%20simulate.%20The%20left%20chart%20shows%20the%20shape%20of%20the%20random%20variable%20you%0A%20%20%20%20picked.%20The%20right%20chart%20shows%20the%20distribution%20of%20the%20simulated%20sample%0A%20%20%20%20means%2C%20with%20the%20matching%20normal%20curve%20drawn%20on%20top.%20Set%20%24n%20%3D%201%24%20and%20the%0A%20%20%20%20means%20look%20just%20like%20the%20random%20variable%20on%20the%20left%2C%20because%20in%20that%0A%20%20%20%20case%20each%20''mean''%20is%20a%20single%20observation%20or%20draw.%20Raise%20%24n%24%20and%20the%20right%20chart%20turns%0A%20%20%20%20into%20a%20bell%20curve%2C%20no%20matter%20what%20shape%20the%20left%20chart%20has.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20clt_process%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Uniform%20(0%20to%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Exponential%20(mean%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Lopsided%20coin%20(10%25%20ones)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Exponential%20(mean%201)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Random%20variable%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clt_n%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D100%2C%20step%3D1%2C%20value%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sample%20size%20behind%20each%20mean%20(n)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clt_reps%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D200%2C%20stop%3D3000%2C%20step%3D100%2C%20value%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Number%20of%20sample%20means%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20clt_button%20%3D%20mo.ui.button(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Draw%20new%20samples%22%2C%20value%3D0%2C%20on_click%3Dlambda%20c%3A%20c%20%2B%201%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bclt_process%2C%20clt_n%2C%20clt_reps%2C%20clt_button%5D)%0A%20%20%20%20return%20clt_button%2C%20clt_n%2C%20clt_process%2C%20clt_reps%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20clt_button%2C%20clt_n%2C%20clt_process%2C%20clt_reps%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20stats)%3A%0A%20%20%20%20%23%20New%20samples%20are%20drawn%20only%20when%20%22Draw%20new%20samples%22%20is%20clicked%20(the%20seed%0A%20%20%20%20%23%20depends%20only%20on%20the%20button).%20The%20%22number%20of%20sample%20means%22%20slider%20just%0A%20%20%20%20%23%20shows%20more%20or%20fewer%20of%20the%20same%20pre-drawn%20pool%2C%20so%20moving%20it%20does%20not%0A%20%20%20%20%23%20redraw.%20Changing%20n%20necessarily%20redraws%2C%20since%20n%20is%20the%20variable%20of%0A%20%20%20%20%23%20interest%20in%20this%20demonstration.%0A%20%20%20%20_MAX%20%3D%203000%0A%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(7%20%2B%20clt_button.value)%0A%20%20%20%20_n%20%3D%20int(clt_n.value)%0A%20%20%20%20_reps%20%3D%20int(clt_reps.value)%0A%20%20%20%20_name%20%3D%20clt_process.value%0A%0A%20%20%20%20if%20_name%20%3D%3D%20%22Uniform%20(0%20to%201)%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_raw%20%3D%20_rng.uniform(0.0%2C%201.0%2C%202000)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pool%20%3D%20_rng.uniform(0.0%2C%201.0%2C%20(_MAX%2C%20_n))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu%2C%20_sd%20%3D%200.5%2C%20(1.0%20%2F%2012.0)%20**%200.5%0A%20%20%20%20elif%20_name%20%3D%3D%20%22Exponential%20(mean%201)%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_raw%20%3D%20_rng.exponential(1.0%2C%202000)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pool%20%3D%20_rng.exponential(1.0%2C%20(_MAX%2C%20_n))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu%2C%20_sd%20%3D%201.0%2C%201.0%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_raw%20%3D%20(_rng.random(2000)%20%3C%200.1).astype(float)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_pool%20%3D%20(_rng.random((_MAX%2C%20_n))%20%3C%200.1).astype(float)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu%2C%20_sd%20%3D%200.1%2C%20(0.1%20*%200.9)%20**%200.5%0A%0A%20%20%20%20_means%20%3D%20_pool.mean(axis%3D1)%5B%3A_reps%5D%0A%0A%20%20%20%20_parent%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_raw%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_bar(color%3D%22%239aa5b1%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22x%3AQ%22%2C%20bin%3Dalt.Bin(maxbins%3D30)%2C%20title%3D%22X%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22count()%22%2C%20title%3D%22Count%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.properties(width%3D250%2C%20height%3D260%2C%20title%3D%22The%20random%20variable%20you%20picked%22)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_hist%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22m%22%3A%20_means%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_bar(color%3D%22%231f4e79%22%2C%20opacity%3D0.85)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22m%3AQ%22%2C%20bin%3Dalt.Bin(maxbins%3D30)%2C%20title%3D%22Sample%20means%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22count()%22%2C%20title%3D%22Count%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_lo%20%3D%20float(_means.min())%0A%20%20%20%20_hi%20%3D%20float(_means.max())%0A%20%20%20%20_se%20%3D%20_sd%20%2F%20(_n%20**%200.5)%0A%20%20%20%20if%20_hi%20%3E%20_lo%20and%20_se%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_grid%20%3D%20np.linspace(_lo%2C%20_hi%2C%20200)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_binw%20%3D%20(_hi%20-%20_lo)%20%2F%2030.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_curve_df%20%3D%20pd.DataFrame(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22m%22%3A%20_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22count%22%3A%20stats.norm.pdf(_grid%2C%20_mu%2C%20_se)%20*%20_reps%20*%20_binw%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_curve%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(_curve_df)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22orange%22%2C%20size%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(x%3D%22m%3AQ%22%2C%20y%3D%22count%3AQ%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_right%20%3D%20(_hist%20%2B%20_curve)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_right%20%3D%20_hist%0A%0A%20%20%20%20_right%20%3D%20_right.properties(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D250%2C%20height%3D260%2C%20title%3D%22Distribution%20of%20the%20sample%20means%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.hconcat(_parent%2C%20_right)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20left%20chart%20is%20the%20random%20variable%20you%20picked.%20The%20right%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chart%20is%20the%20distribution%20of%20the%20sample%20means%20from%20many%20fresh%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22samples%2C%20with%20the%20matching%20normal%20curve%20drawn%20on%20top.%20Raising%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22the%20sample%20size%20narrows%20the%20right%20chart%20and%20pulls%20its%20shape%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22toward%20a%20bell%20curve%2C%20no%20matter%20what%20the%20left%20chart%20looks%20like.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**Terms%3A**%20random%20variable%2C%20probability%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22distribution%2C%20probability%20mass%20function%2C%20cumulative%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22probability%20distribution%2C%20probability%20density%20function%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sample%20statistics%2C%20expected%20value%2C%20variance%2C%20standard%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22deviation%2C%20sample%20mean%2C%20sample%20variance%2C%20standard%20error.%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**Concepts%3A**%20sample%20mean%20as%20a%20random%20variable%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22central%20limit%20theorem%2C%20law%20of%20large%20numbers%2C%20normal%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22distribution%2C%20standard%20normal%20distribution%2C%20standardization.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Key%20terms%20and%20concepts%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20appx_dist%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Chi-square%22%2C%20%22t%22%2C%20%22F%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22t%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Distribution%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20appx_df%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D30%2C%20step%3D1%2C%20value%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Degrees%20of%20freedom%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20appx_df%2C%20appx_dist%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(alt%2C%20appx_df%2C%20appx_dist%2C%20mo%2C%20np%2C%20pd%2C%20stats)%3A%0A%20%20%20%20_name%20%3D%20appx_dist.value%0A%20%20%20%20_k%20%3D%20int(appx_df.value)%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(-5.0%2C%2015.0%2C%20400)%0A%0A%20%20%20%20if%20_name%20%3D%3D%20%22Chi-square%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y%20%3D%20stats.chi2.pdf(_x%2C%20_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_label%20%3D%20f%22Chi-square%20(df%20%3D%20%7B_k%7D)%22%0A%20%20%20%20elif%20_name%20%3D%3D%20%22t%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y%20%3D%20stats.t.pdf(_x%2C%20_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_label%20%3D%20f%22t%20(df%20%3D%20%7B_k%7D)%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y%20%3D%20stats.f.pdf(_x%2C%20_k%2C%2010)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_label%20%3D%20f%22F%20(df%20%3D%20%7B_k%7D%20and%2010)%22%0A%0A%20%20%20%20_faint%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_x%2C%20%22density%22%3A%20stats.norm.pdf(_x%2C%200.0%2C%201.0)%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22%239aa5b1%22%2C%20strokeDash%3D%5B4%2C%203%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(x%3D%22x%3AQ%22%2C%20y%3D%22density%3AQ%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_main%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alt.Chart(pd.DataFrame(%7B%22x%22%3A%20_x%2C%20%22density%22%3A%20_y%7D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.mark_line(color%3D%22%231f4e79%22%2C%20size%3D2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20.encode(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x%3Dalt.X(%22x%3AQ%22%2C%20title%3D%22Value%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y%3Dalt.Y(%22density%3AQ%22%2C%20title%3D%22Density%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chart%20%3D%20(_faint%20%2B%20_main).properties(width%3D560%2C%20height%3D300%2C%20title%3D_label)%0A%0A%20%20%20%20%23%20One%20paragraph%20per%20vstack%20item%20so%20the%20accordion%20spacing%20follows%20the%0A%20%20%20%20%23%20same%20uniform%20gap%20used%20in%20Lectures%2015%20and%2016.%0A%20%20%20%20_bonus%20%3D%20mo.md(r%22%22%22This%20is%20bonus%20material.%20You%20will%20not%20be%20tested%20on%20this%20material%20and%20you%20will%20not%20need%20calculus%20on%20any%20quiz%2C%20problem%20set%2C%20or%20exam.%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_p1%20%3D%20mo.md(r%22%22%22**Continuous%20random%20variables.**%20When%20a%20random%20variable%20does%20not%20take%20a%20discrete%20set%20of%20values%20we%20call%20it%20continuous%2C%20and%20we%20cannot%20sum%20over%20its%20outcomes.%20The%20discrete%20formula%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5D%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7BK%7D%20x_i%20%5Ccdot%20p_i%24%20no%20longer%20works%2C%20and%20the%20same%20is%20true%20for%20the%20variance.%20We%20use%20calculus%20instead%2C%20with%20the%20probability%20density%20function%20%24f(x)%24%20in%20place%20of%20the%20probabilities.%22%22%22)%0A%20%20%20%20_eq1%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%3Cspan%20style%3D'display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bmargin%3A0.8rem%20auto%200.25rem%3B'%3E%24%5Cdisplaystyle%20%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5D%20%3D%20%5Cint%20x%20%5Ccdot%20f(x)%5C%2Cdx.%24%3C%2Fspan%3E%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_p2%20%3D%20mo.md(r%22%22%22The%20intuition%20is%20unchanged.%20We%20still%20add%20up%20each%20possible%20outcome%20%24x%24%20weighted%20by%20its%20chance%20of%20occurring%2C%20with%20the%20integral%20playing%20the%20role%20the%20sum%20played%20in%20the%20discrete%20case.%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_p3%20%3D%20mo.md(r%22%22%22**Other%20measures%20of%20spread.**%20We%20can%20define%20the%20variance%20of%20a%20continuous%20random%20variable%20%24X%24%20using%20the%20expected%20value%20of%20the%20squared%20deviation%20from%20the%20mean.%22%22%22)%0A%20%20%20%20_eq2%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%3Cspan%20style%3D'display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bmargin%3A0.8rem%20auto%200.25rem%3B'%3E%24%5Cdisplaystyle%20%5Ctext%7Bvar%7D(X)%20%3D%20%5Cmathbb%7BE%7D%5Cbig%5B(X%20-%20%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5D)%5E2%5Cbig%5D.%24%3C%2Fspan%3E%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_p4%20%3D%20mo.md(r%22%22%22We%20can%20use%20this%20notation%20to%20define%20two%20less%20common%20measures%20of%20spread%3A%20the%20skewness%20and%20the%20kurtosis.%20The%20skewness%20measures%20the%20tilt%20of%20a%20distribution%20and%20is%20zero%20when%20the%20distribution%20is%20symmetric%2C%20with%20a%20positive%20value%20meaning%20a%20long%20right%20tail.%20The%20kurtosis%20measures%20how%20much%20of%20the%20variance%20comes%20from%20extreme%20values%20far%20from%20the%20mean.%22%22%22)%0A%20%20%20%20_eq3%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%3Cspan%20style%3D'display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bmargin%3A0.8rem%20auto%200.25rem%3B'%3E%24%5Cdisplaystyle%20%5Ctext%7Bskewness%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BE%7D%5Cbig%5B(X%20-%20%5Cmu_X)%5E3%5Cbig%5D%7D%7B%5Csigma_X%5E3%7D%2C%20%5Cqquad%20%5Ctext%7Bkurtosis%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmathbb%7BE%7D%5Cbig%5B(X%20-%20%5Cmu_X)%5E4%5Cbig%5D%7D%7B%5Csigma_X%5E4%7D.%24%3C%2Fspan%3E%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_p5%20%3D%20mo.md(r%22%22%22The%20expected%20value%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5D%24%20is%20also%20called%20the%20first%20moment%20of%20%24X%24%2C%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5E2%5D%24%20the%20second%20moment%2C%20and%20%24%5Cmathbb%7BE%7D%5BX%5Er%5D%24%20the%20%24r%24-th%20moment.%20The%20variance%2C%20skewness%2C%20and%20kurtosis%20are%20built%20from%20the%20second%2C%20third%2C%20and%20fourth%20moments%20respectively.%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_p6%20%3D%20mo.md(r%22%22%22**Common%20probability%20distributions.**%20Three%20named%20distributions%20show%20up%20later%20when%20we%20test%20hypotheses.%20The%20chi-squared%20distribution%20is%20the%20distribution%20of%20a%20sum%20of%20%24m%24%20squared%20independent%20standard%20normal%20variables%2C%20denoted%20%24%5Cchi%5E2_m%24%2C%20where%20%24m%24%20is%20its%20degrees%20of%20freedom.%20The%20other%20two%20build%20on%20the%20chi-squared.%22%22%22)%0A%20%20%20%20_p7%20%3D%20mo.md(r%22%22%22Let%20%24Z%20%5Csim%20%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C%201)%24%20and%20%24W%20%5Csim%20%5Cchi%5E2_m%24%20be%20independent%2C%20which%20means%20%24Z%24%20and%20%24W%24%20do%20not%20influence%20each%20other.%20The%20statistic%20%24T%20%3D%20Z%20%2F%20%5Csqrt%7BW%2Fm%7D%24%20has%20a%20Student%20t%20distribution%20with%20%24m%24%20degrees%20of%20freedom%2C%20denoted%20%24t_m%24.%20The%20t%20distribution%20has%20fatter%20tails%20than%20the%20standard%20normal%20and%20approaches%20%24%5Cmathcal%7BN%7D(0%2C%201)%24%20as%20%24m%24%20grows.%22%22%22)%0A%20%20%20%20_p8%20%3D%20mo.md(r%22%22%22Now%20let%20%24W%20%5Csim%20%5Cchi%5E2_m%24%20and%20%24V%20%5Csim%20%5Cchi%5E2_n%24%20be%20independent.%20Then%20%24F%20%3D%20(W%2Fm)%2F(V%2Fn)%24%20has%20an%20F%20distribution%20with%20%24m%24%20numerator%20and%20%24n%24%20denominator%20degrees%20of%20freedom%2C%20denoted%20%24F_%7Bm%2Cn%7D%24%2C%20and%20it%20takes%20only%20positive%20values.%20The%20figure%20below%20shows%20these%20shapes.%20The%20t%20distribution%20approaches%20the%20standard%20normal%20as%20its%20degrees%20of%20freedom%20grow%2C%20while%20the%20chi-square%20and%20F%20distributions%20take%20only%20positive%20values%20and%20lean%20to%20the%20right.%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20_caption%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20solid%20line%20is%20the%20chosen%20distribution%20and%20the%20faint%20dashed%20line%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22is%20the%20standard%20normal%2C%20shown%20for%20comparison.%20For%20F%20the%20slider%20sets%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22the%20numerator%20degrees%20of%20freedom%20and%20the%20denominator%20is%20fixed%20at%2010.%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%20Appendix%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_bonus%2C%20_p1%2C%20_eq1%2C%20_p2%2C%20_p3%2C%20_eq2%2C%20_p4%2C%20_eq3%2C%20_p5%2C%20_p6%2C%20_p7%2C%20_p8%2C%20appx_dist%2C%20appx_df%2C%20_chart%2C%20_caption%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md('%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fapps%2FLec1Introduction.html%22%20target%3D%22_self%22%3E%E2%86%90%20Lecture%201%3C%2Fa%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md('%3Ca%20href%3D%22https%3A%2F%2Frobert-french.github.io%2FEconometrics%2Fapps%2FLec3WorkingWithMultipleRandomVariables.html%22%20target%3D%22_self%22%3ELecture%203%20%E2%86%92%3C%2Fa%3E')%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22space-between%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A